实验采用的点云数据由共聚焦显微镜采集, 其型号为Leica DCM3D, 它结合了共聚焦和干涉测量技术, 具有高速和高分辨率的特点, 分辨率高达0.1 nm, 其中共聚焦模式用于测量异常粗糙表面到光滑表面的形貌, 即使不接触样本表面, 精细的表面结构也变得清晰可见。共聚焦显微镜由生物学显微镜、图像采集系统、微量步进电机系统、自动步进拍照控制系统、图像处理系统组成。实验中显微镜选用了100倍的镜头, 调整镜头高度为2~5 cm, 在计算机上打开显微镜应用软件, 设置参数如下：3D模式, 采样间距10~50 nm, 长度200 μ m, 宽度100 μ m。

点云数据是一种重要的表达物体三维信息的三维模型, 通过三维采集设备对物体表面进行采样, 可以得到一系列表示物体几何位置、颜色和强度等参数的坐标点, 即三维点云。由于采集过程中不可避免地受到人为干扰、环境光照程度、采集设备的精度以及物体表面纹理差异等因素影响, 导致获取的三维点云数据通常带有小振幅噪声和离群点, 使得三维重建后的模型失真, 甚至出现收缩和变形等严重问题。为了能够获取光顺逼真的点云模型, 需要对采集得到的三维点云数据进行去噪。

令为三维无噪声的点云集合, 其中N为集合中点的总数, 每个点=^[]T是一个坐标向量, 令表示一个带噪声的三维点云集合, 每个点=^[]T是一个坐标向量, 注意, 其中是一个附加到点的服从高斯分布的噪声向量, 即（0, Σ ）。其目标是从噪声点中去除噪声向量。

对待处理的当前采样点, 选择一个模板, 该模板由其邻近的若干个数据点组成, 用模板的均值来替代当前采样点的值的方法。对于三维点云, 模板为一个球体D（如图1c）, 即将三维点云中的一个采样点（x₀, y₀, z₀）处的值用其邻域D(x₀, y₀, z₀)={(x, y, z)|(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²＜d²}的点集平均值代替：

（1）

其中d为邻域半径, 半径值越大去噪后的点云越平滑, 但同时细节信息的丢失也会越严重, 通常根据经验预先人为设定, #D（x₀, y₀, z₀）是D（x₀, y₀, z₀）中点的个数。

图1

Fig.1

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	图1 均值滤波模拟图 （a:原始模拟点云图; b:加入噪声的点云图; c:滤波球体; d:去噪后点云图）Fig.1 Illustration of simulation for mean filtering (a: original point cloud; b: point cloud added with noise; c: the patterning sphere for filtering; d: point cloud after denoising)

遍历点云中的所有点, 通过上述公式得到一个滤波前到滤波后的点对点映射。在滤波后的点云集合下, 通过Delaunay三角剖分^[14], 生成新的点云网格图。该方法计算简单, 计算速度快, 对白噪声鲁棒性强。其缺点是降低噪声的同时丢失点云的细节信息, 容易产生过于光顺的现象。

中值滤波方法是, 对待处理的当前采样点, 选择一个模板, 该模板由其邻近的若干个数据点组成, 对模板内的点云数据由小到大进行排序, 再用模板的中值来替代当前采样点的值的方法。类似于均值滤波, 中值滤波的模板也是一个球体D。对于三维点云中的一个采样点（x₀, y₀, z₀）, 其邻域为D(x₀, y₀, z₀ )={(x, y, z)|(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀ )²＜d² }。邻域中的所有点, 对每个通道（xyz轴方向）从大到小排序：

（2）

（3）

（4）

取其中值处的数据作为采样点（x₀, y₀, z₀）处的替代值。由此得到中值滤波的点对点映射：

（5）

在滤波后的点云集合下, 通过Delaunay三角剖分, 生成新的点云网格图。该算法抑制噪声效果较好, 点云的细节信息基本保持, 对于脉冲噪声也有很好的去噪效果, 但是对高斯噪声的抑制效果不是很好。

曲率滤波解决的问题其实是求解变分模型, 相比之前的扩散方法或梯度下降法等, 曲率滤波是从微分几何的角度最小化相关曲率来实现最小化正则项的方法^[15]。高斯曲率的定义是：

（6）

在去噪算法中, 用到的变分模型是总绝对高斯曲率变分模型：

（7）

其中, 是高斯曲率能量, 是演化终止阈值, 是个很小的数。很多文献已经给出了上述问题的求解方法, 一般是基于扩散的方法, 主要是通过加入伪时间t, 直到达到稳定状态或满足终止条件：

（8）

初始条件。这个模型已经通过使用几何流形的方法推广到各向异性扩散方法中：

（9）

该方法的基本步骤为：1）获取点云模型中各个采样点n_i的K邻域; 2）选取每个采样点n_i在其K邻域的12个三角构型切平面A_ij（1≤ j≤ 12）; 3）计算采样点n_i到切平面的投影距离, 并确定最短距离d_i; 4）将切平面上投影点处的值作为采样点n_i的新值。

该方法利用点云模型的离散特性来隐式地优化曲率, 即减小曲率而不需要计算曲率, 大大降低了计算复杂度。对于分段可展曲面, 高斯曲率滤波并不会对其做任何改动, 从而很好地保持了细节信息。这种滤波方法具备如下优势^[15]：1）通用性：不需要计算整体模型能量的梯度, 因此可以处理比较复杂的成像模型（各种噪声, 模糊, 云雾模型, 风沙模型, 海底场景模型等）。2）几何内涵：因为正则化对应的曲面是已知的, 我们用这些已知的曲面来逼近点云曲面。3）隐式优化：正因为使用了已知曲面来进行优化, 我们就不需要计算高斯曲率或者平均曲率, 降低了对原点云的要求。4）高效性：因为不要求计算曲率, 而且隐含地使用了已知的曲面, 曲率滤波计算非常简单, 效率是梯度下降算法的一百到一千倍。

本文将三种去噪技术融合为一种去噪算法, 结合了各个算法的优点, 形成了一种适用于线形痕迹三维点云的去噪技术。融合方式为三种去噪算法的加权平均, 即：

（10）

其中, V₁, V₂, V₃, V分别为均值滤波、中值滤波、曲率滤波后的点云以及加权后点云的数据, ω ₁, ω ₂, ω ₃分别为加权权重, 代表每种滤波器在去噪中的影响大小。权重的大小通过各滤波器在实验中的平均误差e_i获得, 即：

(11)

利用本文提出的融合算法, 测试样本在去噪后, 点云特征更加显著。

实验中的数据来自于10种工具的痕迹三维点云, 包括钢丝剪、家用剪刀、铁皮剪、铰刀、丝锥、匕首、钢丝钳、大力钳、斜嘴钳、尖嘴钳, 形成了标准的痕迹数据采集流程。

1）获得样本。使用以上工具将直径（0.1~0.2 cm）、材质相同的铁丝切断, 使其切面留下痕迹。

2）调整显微镜。打开共聚焦显微镜, 选择镜头（100倍）, 调整镜头高度（2~5 cm）。

3）设置软件参数。在计算机上打开显微镜应用软件, 设置参数（3D模式, 采样间距10~50 nm, 长度200 μ m, 宽度100 μ m）。

4）将样本固定到纤维镜头下, 调整镜头高度, 使得软件中显示出清晰的点云。

5）将采集到的点云数据以.dat格式存储。

各工具的点云截图如图2所示。从图中10个工具痕迹的点云图可以看出, 不同的工具点云特征有一定的区别, 但不足以用肉眼区分。一部分点云特征比较显著, 比如图2（a、e、g、i、j）中的点云, 沟槽比较大, 而另一部分点云则显得比较普通, 区分度很小。

图2

Fig.2

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	图2 各个工具痕迹点云图 （a：钢丝剪; b：家用剪刀; c：铁皮剪; d：铰刀; e：丝锥; f：匕首; g：钢丝钳; h：大力钳; i：斜嘴钳; j：尖嘴钳）Fig.2 The point cloud of trace from each selected tool (a: wire scissors; b: household scissors; c: iron scissors; d: reamer; e: tap; f: dagger; g: wire cutter; h: locking pliers; i: diagonal pliers; j: needle-nose pliers)

实验共采集到了84个点云数据样本, 抽取其中20个进行去噪实验, 图3展示了4个测试样本分别使用四种滤波方法去噪前后的点云截图。为更好地比较本文的方法与传统去噪方法的效果, 图4展示了同一测试样本用四种滤波方法去噪前后的点云截图。

图3

Fig.3

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	图3 4个样本去噪前后点云图 （上：去噪前样本, 下：去噪后样本, 去噪方法从左至右依次为a：均值滤波; b：中值滤波; c：曲率滤波; d：基于融合滤波）Fig.3 Four samples after denoising (The above/below row shows the samples before/after denoising, with the denoising from left to right into the filtering way of, a: the mean; b: median; c: curvature; d: integration)

图4

Fig.4

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	图4 同一样本四种滤波方法去噪后点云图 （a：去噪前样本, b~e：分别使用均值滤波、中值滤波、曲率滤波和基于融合滤波去噪后）Fig.4 Results of four filtering methods to process the same sample (a: the original sample before denoising; b~e: the resulted sample after processed through denoising with the individual filtering way of the mean, median, curvature and integration)

3.2.1 结果分析

可以看出, 均值滤波对点云局部平滑比较明显, 但对于一些“ 尖峰点” 仍然保留。中值滤波去噪后, 点云表面的“ 毛刺” 基本都被滤波掉, 甚至一些小范围的异常点也消失了, 但局部存在一些不连续点。曲率滤波对点云的细节信息保留较好。本文提出的基于融合的去噪方法既去除了毛刺点, 同时也很好地保留了点云的边缘处细节信息。

3.2.2 误差分析

实验中, 我们将滤波后的点云作为标准点云, 记为f(x, y, z), 对标准点云加入高斯噪声生成带噪声点云, 即f(x, y, z)+N(μ , σ )。然后对带噪声点云分别使用上述四种去噪方法, 得到滤波后点云f(x′ , y′ , z′ )。通过式（12）计算滤波后点云与标准点云的误差以及带噪声点云与标准点云的误差, 从而估计出滤波操作对带噪声点云最大误差去除效果。

(12)

对20个带噪声的点云样本分别用上述传统方法和本文提出的方法进行去噪实验, 其中均值滤波去噪后点云的最大误差减少量为84.2 %, 中值滤波去噪后点云的最大误差减少量为85.4 %, 曲率滤波去噪后点云的最大误差减少量为86.2 %, 实验结果如表1所示。从表中可以看出, 最大误差的减少量最小值72.5 %, 最大值86.9 %, 整体比较均匀, 说明鲁棒性较高, 而总体误差平均减少量为79.6 %。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 去噪实验结果 Table 1 Results of denoising 去噪前最大误差 去噪后最大误差 误差减少量/% 去噪前最大误差 去噪后最大误差 误差减少量/% 3.2 0.61 80.9 2.6 0.35 86.5 1.9 0.40 78.9 1.6 0.30 81.2 2.6 0.52 80.0 5.1 0.72 85.8 5.0 1.20 76.0 2.6 0.42 83.8 3.6 0.91 74.5 1.2 0.33 72.5 6.2 0.93 85.0 2.9 0.7 75.9 2.1 0.72 65.7 1.6 0.38 76.3 2.6 0.34 86.9 2.8 0.51 81.7 4.8 1.10 77.1 3.7 0.73 80.2 4.2 1.00 76.1 4.3 0.62 85.6 平均误差减少量（%） 79.6

表1 去噪实验结果 Table 1 Results of denoising