符合祖孙关系判断标准为:孩子的一对等位基因必定是其中一个来自母亲, 另一个来自祖父或祖母。参照《生物学祖孙鉴定规范》, 在双祖疑母鉴定和双祖鉴定中, 分别定义RGE和GI如下:

1）双祖疑母鉴定的平均非祖父母排除率（RGE_DGAM）指在单基因座上, 随机祖父母、随机母与随机孩子排除祖孙关系的概率。

2）双祖疑母鉴定的祖孙关系指数（GI_DGAM）指在单基因座上, 争议祖父母、争议母与孩子之间符合祖孙关系时其遗传表型出现的概率（X）与争议祖父母、争议母与孩子是无关个体时其遗传表型出现的概率（Y）比值。

3）双祖鉴定的平均非祖父母排除率（RGE_DG）指在单基因座上, 随机祖父、随机祖母与随机孩子排除祖孙关系的概率。

公用设定:在某基因座上, 等位基因有n个, i, j∈ [1, n], i﹤j。等位基因A₁~A_n的对应的基因频率为P₁~P_n。

1.2.1 RGE_DGAM公式推导（表1）

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 RGEDGAM公式推导 Table 1 Derivation of RGEDGAM 类型 基因型 概率 合并概率 子 母 祖父母 子 母 祖父母 1 AiAi ArAr AsAsAsAs Pi2 1 (1– Pi)4 Pi2(1– Pi)4 2 AiAi AsAs ArArArAr Pi2 (1– Pi)2 1 Pi2(1– Pi)2 3 AiAj AiAi AtAtAtAt 2PiPj Pi2 (1– Pj)4 2Pi3Pj(1– Pj)4 4 AiAj AjAj AsAsAsAs 2PiPj Pj2 (1– Pi)4 2PiPj3(1– Pi)4 5 AiAj AiAj AuAuAuAu 2PiPj 2PiPj (1– Pi– Pj)4 4Pi2Pj2(1– Pi– Pj)4 6 AiAj AiAu AtAtAtAt 2PiPj 2Pi(1– Pi– Pj) (1– Pj)4 4Pi2Pj(1– Pi– Pj)(1– Pj)4 7 AiAj AjAu AsAsAsAs 2PiPj 2Pj(1– Pi– Pj) (1– Pi)4 4PiPj2(1– Pi– Pj)(1– Pi)4 8 AiAj AuAu ArArArAr 2PiPj (1– Pi– Pj)2 1 2PiPj(1– Pi– Pj)2

表1 RGEDGAM公式推导 Table 1 Derivation of RGEDGAM

设A_r代表所有等位基因, 则P_r=1。设A_s代表除A_i以外的所有等位基因, 则P_s=1-P_i。设A_t代表除A_j以外的所有等位基因, 则P_t=1-P_j。设A_u代表除A_i和A_j以外的所有等位基因, 则P_u=1-P_i-P_j。参照双亲皆疑排除率公式推导^{[4, 5]}, 将祖父和祖母视为有4个等位基因的特殊父亲。

1）当祖父母无A_i, 疑母任意时, 排除与孩子A_iA_i的亲生关系。合并概率=子概率× 母概率× 祖父母排除概率=P_i²(1-P_i)⁴。

2）当祖父母任意, 疑母无A_i时, 排除与孩子A_iA_i的亲生关系。合并概率=子概率× 母概率× 祖父母排除概率=P_i²(1-P_i)²。

其中1）和2）均将“ 祖父母无A_i且母无A_i” 的情况计入, 必须去除重复。重复的合并概率=子概率× 母概率× 祖父母排除概率=P_i²(1-P_i)⁶。

3）当祖父母无A_j, 疑母为A_iA_i时, 排除与孩子A_iA_j的亲生关系。合并概率=子概率× 母概率× 祖父母排除概率=2P_i³P_j(1-P_j)⁴。

4）当祖父母无A_i, 疑母为A_jA_j时, 排除与孩子A_iA_j的亲生关系。合并概率=子概率× 母概率× 祖父母排除概率=2P_iP_j³(1-P_i)⁴。

5）当祖父母无A_i且无A_j, 疑母为A_iA_j时, 排除与孩子A_iA_j的亲生关系。合并概率=子概率× 母概率× 祖父母排除概率=4P_i²P_j²(1-P_i-P_j)⁴。

6）当祖父母无A_j, 疑母有A_i无A_j时, 排除与孩子A_iA_j的亲生关系。合并概率=子概率× 母概率× 祖父母排除概率=4P_i²P_j(1-P_i-P_j)(1-P_j)⁴。

7）当祖父母无A_j, 疑母有A_j无A_i时, 排除与孩子A_iA_j的亲生关系。合并概率=子概率× 母概率× 祖父母排除概率=4P_iP_j²(1-P_i-P_j)(1-P_i)⁴。

8）当祖父母任意, 疑母无A_i且无A_j时, 排除与孩子A_iA_j的亲生关系。合并概率=子概率× 母概率× 祖父母排除概率=2P_iP_j(1-P_i-P_j)²。

综上推导, RGE_DGAM公式为:

$\begin{array}{l} R G E_{\mathrm{DOMM}}=\sum_{i=1}^{n} P_{i}^{2}\left(1-P_{i}\right)^{2}\left[1+\left(1-P_{i}\right)^{2}-\left(1-P_{i}\right)^{4}\right]+\sum_{i< j}^{n} 2 P_{i} P_{j}\left[P_{i}^{2}\left(1-P_{j}\right)^{4}+P_{j}^{2}\left(1-P_{i}\right)^{4}\right]+ \\ \sum_{i< j}^{n} 4 P_{i} P_{j}\left(1-P_{i}-P_{j}\right)\left[P_{i}\left(1-P_{j}\right)^{4}+P_{j}\left(1-P_{i}\right)^{4}\right]+\sum_{i< j}^{n} 2 P_{i} P_{j}\left(1-P_{i}-P_{j}\right)^{2}\left[1+2 P_{i} P_{j}\left(1-P_{i}-P_{j}\right)^{2}\right] \end{array}$ (1)

1.2.2 GI_DGAM公式推导（表2）

表2

Table 2

表2(Table 2)

表2 GIDGAM公式推导 Table 2 Derivation of GIDGAM 基因型 X Y GI 祖父× 祖母 孩子 疑母 含m个A基因的基因型集合 AA AA (m/4)× 1 a2 m/4a2 含m个A基因的基因型集合 AA AC (m/4)× 0.5 a2 m/8a2 含m个A基因的基因型集合 AB BB (m/4)× 1 2ab m/8ab 含m个A基因的基因型集合 AB BC (m/4)× 0.5 2ab m/16ab 含m个A或B基因的基因型集合 AB AB (m/4)× 0.5 2ab m/16ab

表2 GIDGAM公式推导 Table 2 Derivation of GIDGAM

设等位基因A、B的基因频率分别为a、b。设等位基因C代表非A的等位基因, 等位基因D代表非A且非B的等位基因。设自然数m、n, 1≤ m≤ 4, 1≤ n≤ 4。为简化公式, 将祖父× 祖母基因型描述为基因型集合的形式, 分为以下3种:

1）含m个A基因的基因型集合。

a. 含1个A基因的基因型集合={AC× CC, CC× AC}。

b. 含2个A基因的基因型集合={AA× CC, CC× AA, AC× AC}。

c. 含3个A基因的基因型集合={AA× AC, AC× AA}。

d. 含4个A基因的基因型集合={AA× AA}。

2）含m个A或B基因的基因型集合, 代表基因型集合中的A基因个数与B基因个数之和为m个, 其中A基因或B基因的个数可以为0。

a. 含1个A或B基因的基因型集合={AD× DD, DD× AD, BD× DD, DD× BD}。

b. 含2个A或B基因的基因型集合={AA× DD, DD× AA, AD× AD, BB× DD, DD× BB, BD× BD, AB× DD, DD× AB, AD× BD, BD× AD}。

c. 含3个A或B基因的基因型集合={AA× AD, AD× AA, BB× BD, BD× BB, AA× BD, BD× AA, AB× AD, AD× AB, BB× AD, AD× BB, BA× BD, BD× BA}。

d. 含4个A或B基因的基因型集合={AA× AA, BB× BB, AB× BB, BB× AB, AA× AB, AB× AA, AB× AB, AA× BB, BB× AA}。

3）含m个A或B基因的基因型集合, 代表基因型集合中的A基因个数与B基因个数之和为m个。例如:含2个A基因和1个B基因的基因型集合={AA× BC, BC× AA, AB× AC, AC× AB, CA× AB, AA× DB, AB× DA, AB× AD, AA× BD, BD× AA}。

参照双亲皆疑亲权指数^[5]和三联体亲权指数公式推导^[6], 将祖父和祖母视为有4个等位基因的特殊父亲, 进行GI_DGAM公式推导。

1.2.3 RGE_DG公式推导

参照二联体非父排除率公式推导^[7], 将祖父和祖母视为有4个等位基因的特殊父亲。根据孩子基因型分2种类型:

1）当祖父母无A_i时, 排除与孩子A_iA_i的亲生关系。合并概率=子概率× 祖父母排除概率= P_i²(1-P_i)⁴。

2）当祖父母无A_i且无A_j时, 排除与孩子A_iA_j的亲生关系。合并概率=子概率× 祖父母排除概率=2P_iP_j(1-P_i-P_j)⁴。

综上, RGE_DG公式为:

$R G E_{\mathrm{DG}}=\sum_{i=1}^{n} P_{i}^{2}\left(1-P_{i}\right)^{4}+\sum_{i< j}^{n} 2 P_{i} P_{j}\left(1-P_{i}-P_{j}\right)^{4} $ (2)

1.3.1 模拟随机样本

根据随机模拟法^[5]产生Identifiler试剂盒的15个常染色体STR基因座的模拟随机个体, 等位基因的概率参考中国汉族人群基因频率^[8]。设S为单基因座的所有等位基因频率之和, 则S=∑ P_i^[9]。对以上中国汉族人群基因频率计算后发现, 只有D16S539、D2S1338、FGA、TPOX基因座的S=1, 其他11个基因座的S≠ 1。因此对11个S≠ 1的基因座进行基因频率微调, 确保全部基因座的S=1, 并以此作为模拟实验的基础频率。

1.3.2 模拟实验设计

在单基因座上产生1 000万组, 每组包含4个模拟随机个体, 分别视为祖父、祖母、疑母和孩子, 分别在每组中判断祖父母、疑母和孩子是否符合祖孙关系。设RGE_DGAM模拟值（RGE_DGAM-S）=不符合祖孙关系的组数/总组数, 分别计算各基因座的RGE_DGAM-S。根据公式(1)计算各基因座RGE_DGAM公式值（RGE_DGAM-F）, 与RGE_DGAM-S进行对比。

在单基因座上产生1 000万组, 每组包含3个模拟随机个体, 分别视为祖父、祖母和孩子, 分别在每组中判断祖父母和孩子是否符合祖孙关系。设RGE_DG模拟值（RGE_DG-S）=不符合祖孙关系的组数/总组数, 分别计算各基因座RGE_DG-S。根据公式(2)计算各基因座RGE_DG公式值（RGE_DG-F）, 与RGE_DG-S进行对比。