传统主成分分析考虑的问题是：假设有n个待评个体, 每个个体对应p个指标的数据, 将p个指标转化为较少且相对无关或独立的几个新指标, 得到的新的综合指标即为主成分, 各主成分之间相对独立并且能反映原始变量的绝大部分信息。函数型数据主成分分析考虑数据形式是函数。

假设现有n个血迹样本, 对每个样本关于波长进行曲线拟合后得到函数型样本。设Φ (t)是权重函数, x_i(t)在Φ (t)上的投影泛函或曲线成分定义为：

$\rho_\phi (x_i) = \int \phi(t)x_i(t)dt, i=1, 2, ..., n$

在满足$||\phi(t)|| = (\int \phi(t)^2dt)^{1/2}=1$的情形下, 求权重函数Φ (t)使得所有样本曲线成分的方差达到最大。此时, 所得到的投影曲线为第一主成分函数Φ (t), 对应的第一主成分为$\int \phi_1(t)x(t)dt$, 其中

$\begin{aligned}\lambda_{1} & =\max _{\|\phi\|=1} \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left\{\int \phi(t)\left[x_{i}(t)-\mu(t)\right] d t\right\}^{2} \\& =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left\{\int \phi_{1}(t)\left[x_{i}(t)-\mu(t)\right] d t\right\}^{2}\end{aligned}$

为第一主成分的样本方差, μ (t)为均值函数。函数型数据的第k个主成分和第k个主成分函数分别为：$\int \phi_k(t)x(t)dt$和$ \phi_k(t)$, 其中

$\begin{aligned}\lambda_{k} & =\max \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left\{\int \phi(t)\left[x_{i}(t)-\mu(t)\right] d t\right\}^{2} \\& =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left\{\int \phi_{1}(t)\left[x_{i}(t)-\mu(t)\right] d t\right\}^{2}\end{aligned}$

使得：

$|| \phi_k(t)||= (\int \phi_k(t)^2 dt)^{\frac{1}{2}}=1, \int \phi_k(t)\phi_l(t)dt=0, l=1, 2, ..., k-1, $, λ _k亦称为第k个主成分的样本方差。更多关于函数型数据主成分分析的具体内容可参看文献^{[15, 16, 17]}。

对不同介质上三种血迹的样本曲线进行函数型数据主成分分析。以蓝布为例, 得到的三种血迹样本曲线的第一、第二主成分函数图见图4。

图4

Fig.4

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	图4 蓝布上血迹主成分分析（a、b分别对应第一主成分〔贡献率91.5%〕、第二主成分〔贡献率5%〕函数, “ +” 和“ -” 表示均值函数的波动）Fig.4 Principal components of spectral data of bloodstains on blue fabric (a and b representing the first and second principal components with their respective contribution rate as 91.5% and 5%)

前两个主成分的贡献率（即方差贡献率）分别为91.5%和5%, 其累计贡献率为96.5%。根据数据分析经验, 当主成分累计贡献率超过85%的时候, 主成分已经提取了变量的较多信息。

从图4a可以看出, 750 ~ 950 nm之间, 第一主成分函数在均值函数附近的波动较大, 即在此波段下所得到的血迹信息对血迹的种属差异有较大的贡献; 从图4b可以看出, 第二主成分函数在波长为450和600 nm附近的波动较大。对黑布介质上三种血迹的样本曲线进行函数型数据主成分分析, 得到第一主成分和第二主成分的贡献率分别为96.4%、3.3%, 不同于蓝布上的结果, 第一主成分函数全波段的波动都较大; 对红皮革上的血迹样本曲线进行函数型数据主成分分析, 得到第一主成分和第二主成分的贡献率分别达到75%和21%, 第一主成分在600 ~ 700 nm和750 ~ 950 nm两个波段的波动较大, 而第二主成分在500 ~ 550 nm和750 ~ 950 nm两个波段的波动较大; 对黑皮革上的样本曲线进行函数型数据主成分分析结果显示, 前两个主成分的贡献率分别为89.1%和10.2%, 第一主成分波动主要集中在750 ~ 950 nm, 而第二主成分的波动集中在500 ~ 550 nm, 与红皮革是类似的。通过这四种介质上的分析结果可以看出, 每种介质上750 ~ 950 nm都是主成分波动较大的波段, 可认为这一部分为特征波段。

下面讨论不同介质上三类血迹光谱数据的聚合性, 这将为血迹种属的判别分析合理性提供支撑。利用B样条基函数进行展开, 在这里选样条基个数为8, 得到样本的拟合函数曲线x₁(t), x₂(t), ⋯, x_n(t)。根据主成分分析的结果, 可知黑布、蓝布、黑皮革、红皮革这四种介质上的第一和第二主成分的总贡献率分别为99.7%、96.5%、99.3%、96%, 均超过了95%。所以考虑利用样本第一和第二主成分的得分值进行聚类。首先考虑第一主成分的聚类结果。

图5展示了在四种介质上利用拟合函数曲线在第一主成分函数上的投影值进行聚类的结果。可以看出在黑布介质和蓝布介质上, 第一主成分很好地区分了三种血迹。在黑皮革介质上, 人类血迹和动物血（蛇血和鸡血）区分度很好, 但是对于蛇血和鸡血不能很好地进行区分; 红皮革介质上的结果是类似的。因此考虑对两个主成分的结果进行聚类。图6展示了四种介质上利用第一、第二主成分的投影值聚类的结果。可以明显看出在黑布和蓝布介质上, 两个主成分很好地区分了三种血迹; 在红皮革和黑皮革上, 两种动物血迹有少量混杂。整体来说, 利用两个主成分进行聚类更好地实现了对于三种血迹的识别。

图5

Fig.5

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	图5 四种介质上利用第一主成分的投影值进行聚类的结果（a~d分别对应黑布、蓝布、黑皮革、红皮革四种介质）Fig.5 Cluster analysis into the projective scores of first principal components of bloodstains on four substrates (a~d stands for the respective black/blue cloth and black/red leather)

图6

Fig.6

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	图6 四种介质上利用第一和第二主成分的投影值进行聚类的结果（a~d分别对应黑布、蓝布、黑皮革、红皮革四种介质）Fig.6 Cluster analysis into the projective scores of first and second principal components of bloodstains on four substrates (a~d stands for the respective black/blue cloth and black/red leather)

在多元统计中, Fisher判别的基本思想是投影, 将样本数据都投影到某一个方向上, 使得投影后组与组之间尽可能地分开, 而同组样本则尽可能靠近。根据已知类别的样本确定出投影方向之后, 将未知类别的样本也投影到该方向上, 计算该投影点与各总体的距离来判断样本的类别。

假设已知类别的样本曲线集合D={x_i^(m)}, 其中i=1, 2, ⋯, N_m, m=1, 2, 3, m的三种不同取值分别对应着人血、蛇血、鸡血三种血迹。我们需要找一条投影曲线ϕ (t), 使得同组样本的投影点尽可能接近, 不同组的样本投影点尽可能远, 详见参考文献^{[18, 19, 20]}。根据以上描述, 求投影曲线ϕ (t)即是优化问题：

$\max _{\|\phi\|=1} \frac{\left\|\int \phi(t) \mu_{1}(t) d t-\int \phi(t) \mu_{2}(t) d t\right\|^{2}+\left\|\int \phi(t) \mu_{1}(t) d t-\int \phi(t) \mu_{3}(t) d t\right\|^{2}+\left\|\int \phi(t) \mu_{2}(t) d t-\int \phi(t) \mu_{3}(t) d t\right\|^{2}}{2\left(\operatorname{Var} \int \phi(t) X^{(1)}(t) d t+\operatorname{Var} \int \phi(t) X^{(2)}(t) d t+\operatorname{Var} \int \phi(t) X^{(3)}(t) d t\right)}$

其中$X^{(m)}(t)=(x_1^{(m)}(t), x_2^{(m)}(t), ..., x_{N_m}^{(m)}(t))^T$, $\mu_m(t)=N_m^{-1} \sum_{i=1}^{N_m}x_i^{(m)}(t)$, 根据上述优化问题得到投影曲线ϕ (t)。对于新的样本x_j(t), 记它在ϕ (t)方向上的投影成分为：, 然后计算投影成分与各类别均值函数投影成分之间的距离, 并找出最小距离, 即采用距离就近原则, 新样本的投影点与哪一类中心的投影点距离最近就被分到哪一类。

在前面得到了各介质上各血迹样本的样本曲线, 将得到的样本曲线设置为已知类别样本组和待分类样本组, 即训练组和测试组。我们从样本曲线中随机选出500个待评样本作为测试组, 其他样本作为训练组。具体判别方法如下：

1）通过训练组样本得到投影曲线ϕ (t)。

2）求待评样本在投影曲线ϕ (t)的投影值。

3）通过投影值与三类中心的投影点距离, 实现待评样本的类别。

表1展示了黑布、蓝布、红皮革和黑皮革四种介质上三种血迹的Fisher判别分析结果。

表1

Table 1

表1(Table 1)

表1 四种介质上三种血迹Fisher判别分析的结果 Table 1 Percentages from Fisher discriminant analysis to distinguish the three species bloodstains on four substrates 第一主成分/% 样本 黑布 蓝布 红皮革 黑皮革 人血 蛇血 鸡血 人血 蛇血 鸡血 人血 蛇血 鸡血 人血 蛇血 鸡血 人血 100.0 0.0 0.0 100.0 0.0 0.0 100.0 0.0 0.0 99.0 1.0 0.0 蛇血 5.2 89.4 5.4 0.0 99.8 0.2 0.0 51.8 48.2 0.0 61.2 38.8 鸡血 0.0 0.0 100.0 0.0 0.8 99.2 0.0 52.6 47.4 0.0 49.8 50.2 第一主成分和 第二主成分/% 样本 黑布 蓝布 红皮革 黑皮革 人血 蛇血 鸡血 人血 蛇血 鸡血 人血 蛇血 鸡血 人血 蛇血 鸡血 人血 100.0 0.0 0.0 100.0 0.0 0.0 100.0 0.0 0.0 98.2 1.8 0.0 蛇血 0.0 96.6 3.4 0.0 99.8 0.2 0.0 100.0 0.0 0.0 96.4 3.6 鸡血 0.0 0.0 100.0 0.6 0.6 98.8 0.0 1.0 99.0 0.0 5.4 94.6

表1 四种介质上三种血迹Fisher判别分析的结果 Table 1 Percentages from Fisher discriminant analysis to distinguish the three species bloodstains on four substrates

在黑布介质上, 利用第一主成分进行Fisher判别分析, 人血、蛇血、鸡血的判别准确率分别为100%、89.4%和100%。在蛇血的判别上出现了一些偏差, 有5.2%的蛇血被判别为人血, 有5.4%的蛇血判别为鸡血。当用两个主成分判别时, 对于蛇血的判别准确率有了明显提高, 从89.4%提高到96.6%; 而两种动物血的误判率也降低了。

在蓝布介质上, 三种血迹利用第一主成分判别的准确率分别为100%、99.8%和99.2%。出现判别误差的为两种动物血, 有0.2%的蛇血被判别为鸡血, 有0.8%的鸡血被判别为蛇血。利用两个主成分的判别结果是类似的, 这主要是因为蓝布上三种血迹的第一主成分的贡献率为91.5%, 通过第一主成分就可以保留大部分的血迹信息。

在红皮革介质上, 三种血迹利用第一主成分判别分析的准确率分别为100%、51.8%和47.4%, 对蛇血和鸡血的判别效果要差一些。好的方面是, 判别出错的血迹发生在动物血方面, 有48.2%的蛇血被判别为鸡血, 有52.6%的鸡血被判别为蛇血。我们利用两个主成分的信息进行判别, 其判别的准确率有显著的提高。人血、蛇血、鸡血判别的准确率分别达到了100%、100%和99.0%; 同时两种血迹之间的误判率也有显著的降低, 误判率只有1%。因此在红皮革上利用两个主成分的信息即可达到99%以上的准确判别率。

在黑皮革介质上, 三种血迹利用第一主成分判别分析的准确率分别为99%、61.2%和50.2%。与红皮革介质上的判别结果类似, 黑皮革介质上判别出错的血迹发生在动物血方面, 有38.8%的蛇血被判别为鸡血, 有49.8%的鸡血被判别为蛇血。在两个主成分下, 三种血迹的判别准确率有了很大的提高, 其中人血、蛇血、鸡血的判别准确率分别达到了98.2%、96.4%和94.6%。两种动物血的误判率也降低到了3.6%和5.4%。