本文选择了曲率半径固定的简单曲面以及曲率半径存在变化的复杂曲面作为承痕客体, 分别制作了多枚曲面客体上遗留的指纹样本进行校正实验。其中简单曲面校正的结果采用本文的校正方法和HGXJ-360曲面物证图像展平系统进行比较, 对于曲率半径变化的复杂曲面, 由于HGXJ-360曲面物证图像展平系统失效, 故只采用本文方法进行校正。在曲率半径为3.5 cm的金属罐表面使用磁性粉刷显, 制作样本1; 在曲率半径为3 cm的一次性塑料杯表面使用磁性粉刷显, 制作样本2; 在曲率半径为2 cm的药瓶表面使用502熏显, 制作样本3; 在曲率半径不固定的塑料蛋糕盒表面使用502熏显, 制作样本4。使用佳能EOS-1单反数码相机, 采用可见光配光方法对所制作的样本进行光学提取, 原始光学提取图片如图1所示。

图1

Fig.1

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	图1 不同曲面客体表面指纹（a.金属罐; b.塑料杯; c.药瓶; d.塑料蛋糕盒）Fig.1 Fingerprints on different curvature surfaces (a. metal canister; b. plastic cup; c. medicine bottle; d. cake box)

本文的校正方法基于Python3.4平台编程实现。主要可以分为如下步骤:1）预处理; 2）计算最大投影位置及最佳匹配转角; 3）计算最佳匹配偏移量; 4）依据约束条件计算每一点的放大率; 5）通过插值算法计算RGB值。本文的曲面校正主要针对曲率半径稳定的简单柱面和曲率半径存在变化的复杂柱面。

预处理主要是对图像进行二值化处理, 并且采用5线平均法计算得到标准标尺的各小刻度之间的间隔数据, 如图2所示。

图2

Fig.2

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	图2 5线平均法求各间隔示例Fig.2 Example of calculating spacing distance between calibrations with five-line averaging

计算最大投影位置及最佳匹配转角时, 假设曲面变形是由一个曲率半径为常数R的曲面造成的, 由于标准标尺的每个小刻度（相同的弧长）转过的转角是相同的, 所以可以近似地由一组增量为dθ 的余弦值和观测值进行最佳匹配, 计算得到每个小刻度转过的转角dθ , 示意图如图3所示。

图3

Fig.3

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	图3 最佳余弦匹配示意图Fig.3 Schematic for optimal cosine matching

理论上说, 标准标尺的刻度宽度的比值序列可以作为投影余弦值的表征, 进而计算出每个小标尺刻度转过的转角dθ 。但图像在二值化后不可避免地在刻度边缘存在毛刺的现象, 并且打印的标准标尺的刻度总是存在一定的误差, 单纯地使用宽度较小的刻度宽度可能会导致相对误差过大, 故在本文中对匹配的宽度进行了改进, 如式（1）所示。

$ c_{n}=b_{n}+a_{n}+b_{n+1}$（1）

c_n为第n项的改进后待匹配结果, a_n为第n条刻度线的宽度, b_n为第n-1条刻度线到第n条刻度线的宽度。

最大投影位置的计算如式（2）所示。

$ S_{t}=1-\min \left(\frac{\sum_{1}^{t-1} c_{n}}{\sum_{t+1}^{n} c_{n}}, \frac{\sum_{t+1}^{n} c_{n}}{\sum_{1}^{t-1} c_{n}}\right) $（2）

其中t是刻度对应位置, S_t是衡量最大投影位置的参数, S_t中结果最小的t所处的位置即为最大投影位置。在求得最大投影位置后, 转角dθ 的匹配由式（3）决定。对式（3）求转角dθ 的偏导即式（4）, 根据解得的θ 按照式（5）即可得到最佳的匹配转角序列。

$ S=\sum_{1}^{n}\left(\cos (n \times d \theta)-\frac{c_{n}}{c_{t}}\right)^{2}$（3）

$ \frac{\partial S}{\partial \theta}=0$（4）

$ L_{n}=\cos (n \times d \theta)$（5）

由于该匹配模式是在假设客体曲率半径不变时计算得到的, 为了增进效果和扩大适用范围, 可以结合目前广泛应用于校正各种变形的M阶多项式函数解析法^[7], 对该匹配结果需要进行转角dθ 的一阶增量及二阶增量的补偿, 即将式（5）修正, 得到式（6）。

$ L_{n}=\cos (n \times d \theta)+A \times d \theta +B \times d \theta ^2$（6）

其中L_n为修正后的匹配系数, A和B分别表示经过最小二乘法后的转角dθ 的一阶和二阶补偿量的系数。

在得到一组离散的匹配系数的结果之后, 结合约束条件可以计算出任意一点对应的转角α 如式（7）所示, 示意图见图4。

$\frac{\int_{\alpha}^{\theta_{2}} \cos \theta d \theta}{\int_{\theta_{1}}^{\alpha} \cos \theta d \theta}=\frac{L_{l}}{L_{r}} $（7）

图4

Fig.4

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	图4 缩放系数计算示意图Fig.4 Schematic for defining the scaling coefficient

其中θ ₁及θ ₂分别是变换点所处位置的两侧的最佳匹配转角, L_l表示变换点到左侧标尺刻度的视线长度, L_r表示变换点到右侧标尺刻度的视线长度。据此可以求出任意一变换点对应的转角α , 依照式（5）并且叠加上转角dθ 的一阶及二阶的补偿量即可得到最终的缩放结果。

参照式（4）和式（5）可以计算出变形曲面上任意一点的放大率函数β (x), 其中β 表示放大率, x表示变形图像中横坐标的坐标值, θ _x是θ ₁及θ ₂加权平均后的调和角度, 具体计算方法如式（8）所示。

$\beta(x)=\sqrt{1-\left(\frac{L_{r} \times \sin \theta_{2}+L_{l} \times \sin \theta_{1}}{L_{l}+L_{r}}\right)^{2}}+A \times \theta_{x}+B \times \theta_{x}^{2} $（8）

得到任意一点的放大率后, 就可以根据曲面变形图像计算得到校正图像与其对应的虚拟坐标, 再采用在图像校正过程中常用的双线性插值算法^[8], 即可计算得到校正后任意一点的RGB值。